Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

1. Sin a + Sin b = 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
2. Sin a - Sin b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$
3. Cos a + Cos b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
4. Cos a - Cos b = - 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$

Contoh Soal :

Hitunglah

1. Cos 75º + Cos 15º
2. Sin 75º + Cos 75º

Jawab :

1. Cos 75º + Cos 15º = 2 Cos $\frac{75°\; +\; 15°}{2}$ . Cos $\frac{75°\; -\; 15°}{2}$
   $=2\mathrm{Cos}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Cos}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$    ( Menggunakan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa )
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$
2. Sin 75º + Cos 75º ?
   Cos 75º = Sin (90 - 75)º = Sin 15º ( Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
   Sin 75º + Cos 75º = Sin 75º + Sin 15º
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$

Soal Latihan 1

1. Sederhanakan :
   1. $\frac{Cos\; 75°\; -\; Cos\; 15°}{Sin\; 75°\; +\; Sin\; 15°}$
   2. $\frac{Sin\; 75°\; -\; Cos\; 75°}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
   3. $\frac{Cos\; 105°\; +\; Cos\; 15°}{Sin\; 105°\; -\; Sin\; 15°}$
2. Buktikan identitas berikut :
   1. $\frac{Sin\; 7a\; -\; Sin\; 5a}{Cos\; 7a\; +\; Cos\; 5a}=\mathrm{Tan\; a}$
   2. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 3a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 3a}=\mathrm{Cot\; a}$
   3. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 2a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 2a}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
3. Buktikan :
   1. $\frac{Sin\; 4A\; +\; Sin\; 2A}{Cos\; 4A\; +\; Cos\; 2A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
   2. $\frac{Cos\; 3A\; -\; Cos\; 5A}{Sin\; 3A\; -\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
4. Jika k = Sin a + Sin b dan m = Cos a + Cos b. Buktikan :
   1. $\mathrm{k}+\mathrm{m}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
   2. $\mathrm{k}=\mathrm{m}\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

1.  2 Sin a . Cos b = Sin ( a + b ) + Sin ( a - b )
2.  2 Cos a . Sin b = Sin ( a + b ) - Sin ( a - b )
3.  2 Cos a .Cos b = Cos ( a + b ) + Cos ( a - b )
4. - 2 Sin a . Sin b = Cos ( a + b ) - Cos ( a - b )
   

Contoh Soal :
Nyatakan sebagai jumlah sinus dan sederhanakan jika mungkin :

1. Sin 75º . Cos 15º
2. Cos 2x . Sin x

Jawab:

1. Sin 75º . Cos 15º = $\frac{1}{2}\left(\left(,\mathrm{Sin}\left(\left(,75°+15°,\right)\right)+\mathrm{Sin}\left(\left(,75°-15°,\right)\right),\right)\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sin}90°+\mathrm{Sin}60°)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}\sqrt{3})=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3}$
2. Cos 2x . Sin x = $\frac{1}{2}\left(\mathrm{Sin}\right(\mathrm{2x}+\mathrm{x})-\mathrm{Sin}(\mathrm{2x}-\mathrm{x}\left)\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sin}\mathrm{3x}-\mathrm{Sin}\mathrm{x})=\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{3x}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{x}$

Soal Latihan 1

1. Nyatakan sebagai jumlah sinus atau cosinus dan sederhanakan jika mungkin :
   1. 2 Sin 145° Cos 55°
   2. Sin (π + x) . Cos (π - x)
   3. 4 Cos (x + y) . Sin (x - y)
   4. Cos 285° . Cos 15°
   5. $2.\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x}).\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x})$
   6. Sin (p - q) . Sin (p + q)
2. Sederhanakan :
   1. 2 Cos 50° Cos 40° - 2 Sin 95° . Sin 85°
   2. Sin 52° . Sin 68° - Sin 47° . Cos 77° - Cos 65° . Cos 81°
3. Buktikan :
   1. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A - Cos 3A = Cos A
   2. Sin 3B + (Cos B + Sin B)(1 - 2 Sin 2B) = Cos 3B
   3. Cos (A + B) . Cos (A - B) + 1 = Cos²A + Cos²B
   4. 8 Sin 20° Sin 40° Sin 80° = $\sqrt{3}$
   5. Sin 52° Sin 68° - Sin 47° Cos 77° - Cos 65° Cos 81° = $\frac{1}{2}$
   6. 2 - 2 Cos 5x Cos 3x - 2 Sin 5x Sin 3x = 4 Sin² x

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Sin 2a = 2 Sin a Cos a
2. Cos 2a = Cos² a - Sin² a = 2 Cos² a - 1 = 1 - 2 Sin² a
3. Tan 2a = $\frac{2\; Tan\; a}{1\; -{Tan}^{2}a}$
   

Contoh Soal :
Diketahui Cos a = $\frac{12}{13}$ dan a sudut lancip. Tentukan nilai :

1. Sin 2a
2. Cos 2a
3. Tan 2a

Jawab :
Cos a = $\frac{12}{13}$ dan a sudut lancip

Cos a = $\frac{12}{13}$
Sin a = $\frac{5}{13}$
Tan a = $\frac{5}{12}$

1. Sin 2a = 2 Sin a . Cos a = 2 . $\frac{5}{13}$ . $\frac{12}{13}$ = $\frac{120}{169}$
2. Cos 2a = Cos² a - Sin² a = ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2$ - ${\frac{5}{13}}^2$ = $\frac{144}{169}$ - $\frac{25}{169}$ = $\frac{119}{169}$
3. Tan 2a = $\frac{2\; Tan\; a}{1\; -{Tan}^{2}a}$ = $\frac{2.\frac{5}{12}}{1-{\frac{5}{12}}^2}=\frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{\frac{10}{12}}{\frac{119}{144}}=\frac{10}{12}.\frac{144}{119}=\frac{120}{144}.\frac{144}{119}=\frac{120}{119}$

Soal Latihan 1

1. Diketahui Tan A = $\frac{1}{3}$ dan A sudut lancip. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
2. Diketahui Cos²A = $\frac{9}{10}$ untuk $0<2A<\frac{\pi }{2}$. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
3. Jika Tan x = $\frac{1}{2}$ dan Tan y = $\frac{1}{3}$. Hitunglah :
   1. Tan 2x
   2. Tan 2y
   3. Tan (2x + y)
   4. Tan (x + 2y)

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

 Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dua Sudut Dan Selisih Dua Sudut

1. Cos ( a + b ) = Cos a . Cos b - Sin a . Sin b
2. Cos ( a - b )  = Cos a . Cos b + Sin a . Sin b
3. Sin ( a + b )  = Sin a . Cos b + Cos a . Sin b
4. Sin ( a - b )   = Sin a . Cos b - Cos a . Sin b
5. Tan ( a + b ) = $\frac{Tan\; a\; +\; Tan\; b}{1\; -\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$
6. Tan ( a - b )  = $\frac{Tan\; a\; -\; Tan\; b}{1\; +\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$

Contoh Soal :

Diketahui :
Sin a = $\frac{3}{5}$ untuk a sudut lancip
Cos b = $\frac{12}{13}$ untuk b sudut tumpul
Tentukan :

1. Sin ( a + b )
2. Cos ( b - a )
3. Tan ( a - b )

Jawab :
Sin a = $\frac{3}{5}$ untuk a sudut lancip

Sin a = $\frac{3}{5}$
Cos a = $\frac{4}{5}$
Tan a = $\frac{3}{4}$

Cos b = $\frac{12}{13}$ untuk b sudut tumpul

Sin b = Sin ( 180 - b ) = Sin b = $\frac{5}{13}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
Cos b = Cos ( 180 - b ) = - Cos b = - $\frac{12}{13}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
Tan b = Tan ( 180 - b ) = - Tan b = - $\frac{5}{12}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )

1. Sin ( a + b ) = Sin a . Cos b + Cos a . Sin b
   = $\frac{3}{5}.-\frac{12}{13}+\frac{4}{5}.\frac{5}{13}=-\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=-\frac{16}{65}$


2. Cos ( b - a ) = Cos b . Cos a + Sin b . Sin a
   = $-\frac{12}{13}.\frac{4}{5}+\frac{5}{13}.\frac{3}{5}=-\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=-\frac{33}{65}$


3. Tan ( a - b ) = $\frac{Tan\; a\; -\; Tan\; b}{1\; +\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$
   = $\frac{\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{12}\right)}{1+\frac{3}{4}.-\frac{5}{12}}=\frac{\frac{36}{48}+\frac{20}{48}}{1-\frac{15}{48}}=\frac{\frac{56}{48}}{\frac{33}{48}}=\frac{56}{33}$

Soal Latihan 1

1. Diketahui Sin a = $\frac{1}{2}$, Cos b = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, a dan b sudut lancip. Hitunglah nilai dari :
   1. Cos ( a + b )
   2. Cos ( a - b )
   3. Sin ( a + b )
   4. Sin ( a - b )
   5. Tan ( a + b )
   6. Tan ( a - b )
2. Diketahui Tan a = $-\frac{3}{4}$ dan Tan b = $\frac{7}{24}$, a sudut tumpul dan b sudut lancip. Hitunglah nilai dari :
   1. Cos ( a + b )
   2. Cos ( a - b )
   3. Sin ( a + b )
   4. Sin ( a - b )
   5. Tan ( a + b )
   6. Tan ( a - b )
3. Tentukan nilai dari :
   1. Sin 75º
   2. Cos 75º
   3. Tan 75º
   4. Tan 105º
   5. Cos 105º
   6. Cos 195º
4. Tentukan nilai dari :
   1. Sin 15º
   2. Sec 15º
   3. Cos 15º
   4. Tan 15º
5. Sederhanakanlah :
   1. Cos 200º . Cos 10º - Sin 200º . Sin 10º
   2. Cos ( $\frac{\pi }{2}$ + a ) . Cos a + Sin ( $\frac{\pi }{2}$ + a ) . Sin a
   3. $\frac{Sin\; 2a}{Sin\; a}+\frac{Cos\; 2a}{Cos\; a}$
   4. $\frac{Sin\; 160}{Sin\; 20}-\frac{Cos\; 160}{Cos\; 20}$

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Pangkat Rasional Soal Penggemar Matematika bagian II

 Soal Penggemar Matematika

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
   1. 2^x . 8^{x + 2} = 64 . 4^3x
   2. 8 . 2^x = 1
   3. 2^x . 2³ = 0,25
   4. (0,04)^x . 5 = 125
   5. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x\; -\; 1}=\sqrt[3]{2^{3x\; -\; 1}}$
   6. $4^{x\; +\; 3}=\sqrt[4]{8^{x\; +\; 5}}$

Jawab :

2. 1. 2^x . 8^{x + 2} = 64 . 4^3x
      2^x . 2^{3(x + 2)} = 2⁶ . 2^2(3x)
      2^x . 2^{3x + 6} = 2⁶ . 2^6x
      2^{x + 3x + 6} = 2^{6 + 6x}
      2^{4x + 6} = 2^{6 + 6x}
      4x + 6 = 6 + 6x
      4x - 6x = 6 - 6
      -2x = 0
      x = 0
   
   
   2. 8 . 2^x = 1
      2³ . 2^x = 2⁰
      2^{3 + x} = 2⁰
      3 + x = 0
      x = 0 - 3
      x = -3
   
   
   3. 2^x . 2³ = 0,25
      $2^x.2^3=\frac{1}{4}$
      $2^x.2^3=\frac{1}{2^2}$
      $2^{x\; +\; 3}=2^{-2}$
      x + 3 = -2
      x = -2 - 3
      x = -5
   
   
   4. (0,04)^x . 5 = 125
      ${\left(\frac{4}{100}\right)}^x.5=5^3$
      ${\left(\frac{1}{25}\right)}^x.5=5^3$
      ${\left(\frac{1}{5^2}\right)}^x.5=5^3$
      ${\left(5^{-2}\right)}^x.5=5^3$
      5^-2x . 5 = 5³
      5^-2x . 5¹ = 5³
      5^{-2x + 1} = 5³
      -2x + 1 = 3
      -2x = 3 - 1
      -2x = 2
      x = -1
   
   
   5. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x\; -\; 1}=\sqrt[3]{2^{3x\; -\; 1}}$
      ${\left(\frac{1}{2^2}\right)}^{x\; -\; 1}=2^{\frac{3x\; -\; 1}{3}}$
      ${\left(2^{-2}\right)}^{x\; -\; 1}=2^{\frac{3x\; -\; 1}{3}}$
      $2^{-2x\; +\; 2}=2^{\frac{3x\; -\; 1}{3}}$
      $-2x\; +\; 2=\frac{3x\; -\; 1}{3}$
      $(-2x\; +\; 2)3=3x\; -\; 1$
      $-6x\; +\; 6=3x\; -\; 1$
      $-6x\; -\; 3x=-1\; -\; 6$
      $-9x=-7$
      $x=\frac{7}{9}$
      
   
   
   6. $4^{x\; +\; 3}=\sqrt[4]{8^{x\; +\; 5}}$
      $2^{2(x\; +\; 3)}=\sqrt[4]{2^{3(x\; +\; 5)}}$
      $2^{2x\; +\; 6}=2^{\frac{3x\; +\; 15}{4}}$
      $2x\; +\; 6=\frac{3x\; +\; 15}{4}$
      (2x + 6)4 = 3x + 15
      8x + 24 = 3x + 15
      8x - 3x = 15 - 24
      5x = -9
      $x=\frac{-9}{5}$
      $x=-\frac{9}{5}$
      
   
   
   7. 
      $3^{\frac{2(x\; +\; 1)}{2}}=3^{-1(x-\frac{1}{2})}$
      $3^{x\; +\; 1}=3^{-x+\frac{1}{2}}$
      $x\; +\; 1=-x+\frac{1}{2}$
      $x\; +\; x=\frac{1}{2}-1$
      $2x=-\frac{1}{2}$
      $x=-\frac{1}{4}$
      

Pangkat Rasional Soal Penggemar Matematika

Soal Penggemar Matematika

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
   1. 3^{5x - 1}= 27^{x + 3}
   2. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{2x\; +\; 1}}=\sqrt{\frac{2^{4x\; -\; 1}}{128}}$
   3. $\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}={\left(27\right)}^{\frac{1}{3}}$
   4. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}=27$
   5. $\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}=9^{x\; -\; 2}$
   6. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x\; -\; 1}=\frac{1}{27}$
   7. $\frac{3^{2x}}{3}=27$

Jawab :

1. 1. 3^{5x - 1} = 27^{x + 3}
      3^{5x - 1} = 3^{3(x + 3)}
      3^{5x - 1} = 3^{3x + 9}
      5x - 1 = 3x + 9
      5x - 3x = 9 + 1
      2x = 10
      x = 5
      
   
   
   2. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{2x\; +\; 1}}=\sqrt{\frac{2^{4x\; -\; 1}}{128}}$
      $2^{\mathrm{-1(2x\; +\; 1)}}={\left(\frac{2^{4x\; -\; 1}}{2^7}\right)}^{\frac{1}{2}}$
      $2^{\mathrm{-2x\; -\; 1}}={\left(2^{4x\; -\; 1\; -\; 7}\right)}^{\frac{1}{2}}$
      $2^{\mathrm{-2x\; -\; 1}}={\left(2^{4x\; -\; 8}\right)}^{\frac{1}{2}}$
      $2^{\mathrm{-2x\; -\; 1}}=2^{(4x\; -\; 8)\frac{1}{2}}$
      $2^{\mathrm{-2x\; -\; 1}}=2^{2x\; -\; 4}$
      -2x - 1 = 2x - 4
      -2x - 2x = -4 + 1
      -4x = 3
      x = $-\frac{3}{4}$
   
   
   3. $\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}={\left(27\right)}^{\frac{1}{3}}$
      $3^{\frac{2x\; +\; 1}{2}}={\left(3^3\right)}^{\frac{1}{3}}$
      $3^{\frac{2x\; +\; 1}{2}}=3^1$
      $\frac{2x\; +\; 1}{2}=1$
      2x + 1 = 2
      2x = 2 - 1
      2x = 1
      $x=\frac{1}{2}$
   
   
   4. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}=27$
      $3^{(-1)2}{3}^{\frac{2x\; +\; 1}{2}}=3^3$
      $3^{-2+\frac{2x\; +\; 1}{2}}=3^3$
      $-2+\frac{2x\; +\; 1}{2}=3$
      $\frac{2x\; +\; 1}{2}=3+2$
      $\frac{2x\; +\; 1}{2}=5$
      2x + 1 = 10
      2x = 10 - 1
      2x = 9
      $x=\frac{9}{2}$
      $x=4\frac{1}{2}$
      
   
   
   5. $\sqrt{3^{2x\; +\; 1}}=9^{x\; -\; 2}$
      $3^{\frac{2x\; +\; 1}{2}}=3^{2(x\; -\; 2)}$
      $3^{\frac{2x\; +\; 1}{2}}=3^{2x\; -\; 4}$
      $\frac{2x\; +\; 1}{2}=2x\; -\; 4$
      2x + 1 = 2(2x - 4)
      2x + 1 = 4x - 8
      2x - 4x = -8 - 1
      -2x = -9
      $x=\frac{-9}{-2}$
      $x=4\frac{1}{2}$
      
   
   
   6. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x\; -\; 1}=\frac{1}{27}$
      $3^{-1(2x\; -\; 1)}=\frac{1}{3^3}$
      $3^{-2x\; +\; 1}=3^{-3}$
      -2x + 1 = -3
      -2x = -3 - 1
      -2x = -4
      x = 2
   
   
   7. $\frac{3^{2x}}{3}=27$
      $3^{2x\; -\; 1}=3^3$
      2x - 1 = 3
      2x = 3 + 1
      2x = 4
      x = 2

Menghitung Luas Lingkaran

Luas Lingkaran = π r²

Rumus Luas Lingkaran
 

L = π r²  

L : Luas Lingkaran

π : Konstanta yang bernilai 22 ÷ 7 = 3,14285714 = 3,14

r : Jari - jari lingkaran

Contoh :

Hitunglah luas lingkaran berikut

Jawab :

r = 7

Luas Lingkaran adalah sebagai berikut

L = π r² = 22/7 x 7² = 22 x 7 = 159

Jadi luas lingkaran adalah 159

Cara Menghitung Luas Segitiga

 Luas Segitiga = Alas x Tinggi : 2

Rumus Luas Segitiga

L = a x t : 2

L : Luas Segitiga

a : Alas Segitiga

t : Tinggi Segitiga

Contoh :

Hitunglah luas segitiga berikut :

Jawab :

a : 3

t : 6

Luas Segitiga adalah sebagai berikut

L = a x t : 2

L = 3 x 6 : 2

L = 18 : 2

L = 9

Jadi luas segitiga adalah 9

Menghitung Luas Persegi atau Bujur Sangkar

Luas Persegi = Sisi x Sisi

Rumus Luas Persegi

 

L = S x S

L : Luas Persegi

S : Sisi Persegi

Contoh :

Hitunglah luas persegi berikut :

Jawab :

S = 7

L = S x S = 7 x 7 = 49

Cara Menghitung Luas Persegi Panjang

Luas Persegi Panjang = Panjang x Lebar

Rumus Luas Persegi Panjang

        L = p x l

L : Luas

p : Panjang 

l : Lebar

Contoh :

Hitunglah luas persegi panjang berikut ini :

 Jawab :

p = 5

l = 2

L = p x l = 5 x 2 = 10